用户: Cybcat/数学物理学家用的数学/量子上同调 (一)
这是我在施哥讨论班要讲内容的讲义. 在第一部分我们主要追随 Rahul Pandharipande 的文章 Cohomological Field Theory Calculations.
目录1上同调场论 (CohFT) 及其公理2半单性 (Semisimplicity)1上同调场论 (CohFT) 及其公理 上同调场论 (Cohomological field theories CohFTs) 是 Kontsevich 和 Manin 在上世纪 90 年代自主研发的一款公理化场论. 他的诞生更好地公理化了 Gromov-Witten 理论, 并提供了一种研究场论的一般工具. 其细节大量地涉及到曲线的模空间以及上面的相交理论, 简单来说, 它总结了涉及曲线模空间的几个场论的一般性质, 某种意义上说, 可以认为是研究某种计数问题和不变量的公理化和系统化阐述.
让我们首先回顾曲线模空间的一些基本构造. 这些记号是标准的, 在本讲义中我们始终使用如下的记号.
定义 1.1. 记号说明.
∙ 用 Mg,n 表示亏格 g 带有 n 个标记点的稳定曲线的 Deligne-Mumford 模空间.
∙ 用 p:Mg,n+1→Mg,n 表示遗忘最后一个标记点的遗忘 (forgetful) 映射 (注意真实操作中需要作稳定化).
∙ 用 q:Mg−1,n+2→Mg,n 表示粘接最后两个标记点的内粘合 (inner gluing) 映射.
∙ 用 r:Mg1,n1+1×Mg2,n2+1→Mg,n 表示粘接两个模空间最后一个标记点的外粘合 (outer gluing) 映射. 这里 g1+g2=g,n1+n2=n.
∘ 用 Mg,n(X,β) 表示亏格 g 带有 n 个标记点到 X 的像 β∈H2(X,Z) 的稳定映射构成的模空间.
∘ 用 π:Mg,n(X,β)→Mg,n 表示遗忘掉映射, 只记录 (稳定化的) 曲线的信息. 这里 2g−2+n>0.
∘ 用 evi:Mg,n(X,β)→X 表示观察标记点 i 的像, 这里 1≤i≤n.
∘ 对同调类 v1,⋯,vn∈H∗(X), 定义对应的 Gromov-Witten 类Ωg,n,βX(v1,⋯,vn):=π∗(ev1∗v1⌣⋯⌣evn∗vn⌣[Mg,n(X,β)]vir)∈H∗(Mg,n,C).而对应的 Gromov-Witten 不变量为⟨v1,⋯,vn⟩g,n,βX:=∫Mg,nΩg,n,βX(v1,⋯,vn).
那么什么是上同调场论呢?
定义 1.2 (上同调场论). 一个上同调场论包含了如下的信息:
∙ V 是一个有限维 C-线性空间.
∙ η:V×V→C 是 V 上的一个非退化对称双线性型.
∙ 一族线性映射 Ω={Ωg,n}2g−2+n>0. 具体来说: Ωg,n∈H∗(Mg,n,C)⊗(V∗)⊗n.
那么对张量 Ωg,n, 当代入 n 个元素 v1,⋯,vn∈V 后, 得到Ωg,n(v1,⋯,vn)∈H∗(Mg,n,C).称为关联的同调类 (the cohomology class associated with vi-s).
这些 Ωg,n 满足一系列公理. 将在后文中介绍.
我们应该如何想象这些资料? 实际上, 在具体应用中 V=H∗(X) 一般是一个流形或者其他几何对象 X 的上同调环. 而 η 则是上面的 Poincare pairing, 也就是 η(ω1,ω2) 表示 ω1⌣ω2 中顶维上同调的系数, 具有熟知的非退化性. 最后这些 Ωg,n(v1,⋯,vn), 它们实际上可以类比为 Gromov Witten 理论中的 ev1∗v1⌣⋯⌣evn∗vn, 它们即将要在模空间 Mg,n 中的同调类上作积分 (配对), 所以这解释了为什么它们生活在上同调环 H∗(Mg,n,C) 里.
那么它们需要满足怎么样的公理呢?
定义 1.3 (基本公理). 基本公理 (fundamental axioms) 包含下面两条.
(1) 对称性 (Symmetric), 当对称群 Sn 中的元素同时作用在 Mg,n(交换 n 个标记点) 以及 (V∗)⊗n(交换 n 个输入) 上时, Ωg,n 保持不变.
(2) 边界粘合相容性 (Gluing compatibility), 对于两个粘合诱导的拉回q∗:H∗(Mg,n,C)→H∗(Mg−1,n+2,C), r∗:H∗(Mg,n,C)→H∗(Mg1,n1+1,C)⊗H∗(Mg2,n2+1,C).假设 V 有一组 C-基 {ei}i, 记 ηij=η(ei,ej),ηij=(η)i,j−1, 那么对内粘合q∗(Ωg,n(v1,⋯,vn))=j,k∑ηjkΩg−1,n+2(v1,⋯,vn,ej,ek).对外粘合, 我们有r∗(Ωg,n(v1,⋯,vn))=j,k∑ηjkΩg1,n1+1(v1,⋯,vn1,ej)⊗Ωg2,n2+1(vn1+1,⋯,vn,ek).
首先, 对称性体现了模空间中 n 个标记点本身具有的对称性. 所以对称性公理体现了 Ω 与此标准对称性具有的相容性. Sn↷Mg,n.
然后边界相容性之所以叫做边界相容性, 因为粘合映射的像都位于模空间的边界 Imq,Imr⊂∂Mg,n=Mg,n\Mg,n. 所以边界粘合相容性体现了关于模空间紧化的构造信息. 再就是关于取基 ei 的说明, 首先作为线性代数练习, 读者可以检查这两个求和式与基的选取无关, 只和 η 本身有关. 在物理学家用的 Einstin 求和记号中, 这种技术被称为张量指标缩合 (tensor index contraction), 是一种自然的构造. 这里相当于先用 η 对偶然后缩合.
让我们以 q 有关的公理为例. 几何意义上说, Ωg,n 就是沿着赋值映射拉回 X 上的一些上同调类, 那么当我们把两个标记点粘起来后, 形式上看就应该如下面的交换图表所展示: 理应有 f~(xn+1)=f~(xn+2), 所以它对应了我们要求π∗ev∗(i∗pr∗(v1⌣⋯⌣vn))=q∗(π∗ev∗(v1⌣⋯⌣vn)).将 π∗ev∗ 视作取 Ω, i∗pr∗ 视作缩合, 那么我们就得到了 Gromov-Witten 不变量满足边界相容性公理的验证. 类似地我们也能检查关于 r 的公理.
然后, 我们知道连通的几何对象的上同调中具有一个特别的元素 [1]∈H0(X), 它在 Poincare 对偶下对应了 [X]∈Htop dim(X). 在我们的公理体系中假设了它的存在性之后, 就需要额外添加两条.
定义 1.4 (单位公理). 元素 0=[1]∈V 取定, 称之单位元素. 那么关于它需加入如下两条单位公理 (unit axioms).
(3) 遗忘相容性 (Forgetful compatibility), 对于遗忘映射诱导的拉回p∗:H∗(Mg,n,C)→H∗(Mg,n+1,C).我们有p∗(Ωg,n(v1,⋯,vn))=Ωg,n+1(v1,⋯,vn,[1]).
(4) 归一化 (Normalization), 我们有Ω0,3(v1,v2,[1])=η(v1,v2).因为 M0,3 是一个点, 所以这里把 H∗(M0,3,C)≅C 等同.
类似前文的处理, 这样遗忘映射 p 对应了如下的图表: 我们要求π∗ev∗(pr∗(v1⌣⋯⌣vn))=q∗(π∗ev∗(v1⌣⋯⌣vn)).而注意到遗忘最后一个 X 相当于上同调拉回的时候取多一个基本类 [1].
再来看归一化公理, 某种意义上说, 它体现了几何上的相交. 考虑 Ω0,3,0X(v1,v2,[1]), 回顾模空间 M0,3(X,0) 的定义, 相当于观察 f:P1→X 被打到一个点的退化情形, 而标记点 x1,x2 的像 (也就是那个像点) 位于 v1,v2∈H∗(X), 那么这样的 f 的数量 (在维数合适的情况下) 自然应该是 v1⌣v2.
一般地对于 β=0, Ω0,3,βX(v1,v2,[1])=0(读者可以参考 Kontsevich 和 Manin 的量子上同调原文).
注 1.5. 对于一个满足基本公理 (1) 和 (2) 的资料 (V,η,Ω), 我们称一个 CohFT; 而对于一个还满足 (3) 和 (4) 的 CohFT (V,η,Ω,[1]), 我们称一个带单位的 CohFT(CohFT with unit).
注意到诸如 Gromov-Witten 类等 CohFT 满足更多的公理, 这个我们后面再说.
另外, 我们指出即便是 V=C,η(x,y)=xy,[1]=1 这样的几何平凡情况 (几何上看, 就是一个点的 CohFT), 也有很不平凡的例子, 显然这来自于模空间本身的复杂性.
一个相对简单但是本质上比较重要的例子是, 考虑秩 g 的 Hodge 丛 (简单来说就是对曲线 X 考虑其上同调 H1,0(X) 作为一个线性空间, 可将它实现为模空间 Mg,n 上的向量丛) E→Mg,n, 我们取 Chern 类 Ωg,n(1,⋯,1):=c(E)∈H∗(Mg,n,C).
检查上述构造给出一个 CohFT with unit 并不困难, 唯一要验证的公理是边界相容性 (因为只有它可能涉及曲线本身而不仅仅是标记点), 核心在于利用 Chern 类和 Hodge 丛的函子性.
另一个有趣, 有点平凡的小例子是 ωg,n:=[Ωg,n]0∈H0(Mg,n,C)⊗(V∗)⊗n 也是一个 CohFT. ω 被称为 Ω 的拓扑组分 (Topological part).
2半单性 (Semisimplicity) 一个带单位的 CohFT 定义了一个量子积 (quantum product):
定义 2.1 (量子积). 设 Ω 是 CohFT with unit, 则 V 上可定义量子积: η(v1∙v2,v3):=Ω0,3(v1⊗v2⊗v3).
我们做一些最基本的检查, 首先它是良定义的, 也就是说 (v1,v2)↦v1∙v2 定义了一个 V⊗V→V 的 C-双线性映射. 双线性性是 Ω 本身保证的, 而无关性在于 η 是非退化的, 所以本质上 Ω0,3(v1,v2,−) 是一个 V∗ 中的线性映射, 所以把它写作 η(v1∙v2,−) 形式下, v1∙v2 唯一, 也可以看作一种 Riesz 表示定理.
然后我们有交换律 v1∙v2=v2∙v1, 这是因为对称性公理 (1) 给出 Ω0,3(v1,v2,v3) 的对称性.
接下来是幺元, [1]∙v=v, 这是因为我们有归一化公理 (4), η([1]∙v,w)=Ω0,3([1],v,w)=η(v,w).
最后我们声称还有结合律, 我们来检查 (v1∙v2)∙v3=v1∙(v2∙v3), 也就是Ω0,3(v1∙v2,v3,v4)=Ω0,3(v1,v2∙v3,v4).首先运用亏格 0 时的遗忘相容公理 (3) 还有粘合相容公理 (2), 过程中我们会大量用对称性公理 (1), 计算得到====r∗p∗Ω0,3(v1∙v2,v3,v4)r∗Ω0,4(v1∙v2,v3,v4,[1])=r∗Ω0,4(v1∙v2,[1],v3,v4)j,k∑ηjkΩ0,3(v1∙v2,[1],ej)Ω0,3(v3,v4,ek)j,k∑ηjkΩ0,3(v1,v2,ej)Ω0,3(v3,v4,ek)r∗Ω0,4(v1,v2,v3,v4).仍是注意 H∗(M0,3,C)=H0(M0,3,C)=C. 结合 r∗,p∗ 的非退化性, 所以上述带拉回 r∗p∗ 的检查即可确定原来的等式成立. 由此我们得知 (V,∙,[1]) 构成了 C-有限维交换含幺代数.
研究量子积的一大意义是下面的引理:
引理 2.2. 一个 CohFT with unit Ω 的拓扑组分 ω 由 Ω0,3∈(V∗)⊗3 (和 η,[1] 这些基本的信息) 唯一决定.
证明. 我们来观察 ωg,n 的确定. 技巧是考虑一个特殊的 [C,p1,⋯,pn]∈Mg,n, 其中 C 的每个不可约分支都同构于 P1 且上面带有三个特殊点. 例如 M2,3 的一个例子是: 这种曲线也称极大退化曲线 (maximal degenerate curve), 根据一些组合数学它是存在的 (尽管不一定唯一), 我们知道它可以由一系列 (不难得知是 2g+n−2 个) M0,3 经过两个粘接映射 q,r 得到. 现在由于 ωg,n(v1,⋯,vn)∈H0(Mg,n,C), 所以它的值只需要在一点处确定. 于是在 C 处的取值就由 q,r 的拉回组合地确定. □
使用交换代数知识, 我们实则知道上述代数 V 是一个 Artin 环, 所以由于 C 代数闭, 它的谱集本质上是有限多个点, 结构定理告诉我们, V 同构于 C[ϵ]/(ϵn) 的直和. 这种代数的半单性刻画非常容易, 实际上
引理 2.3. 对一个 C-有限维含幺交换代数 A, 下面这些等价:
(0) A 是半单代数.
(1) 不存在非零幂零元, 即 radA=(0).
(2) 存在一组 C-基 ei, 使得 eiej=δijei.
(3) A≅C⊕dimA.
由于 C 代数闭, 所以上面的刻画非常好. 但是在一般的情况下, 例如当我们需要讨论 Q 上的有限维半单代数时, 它也可以是一系列 Q-有限扩张的直和. 当然, 其半单性可以基变换到 C 来检查.
定义 2.4. 一个 CohFT with unit Ω 被称为半单的 (Semisimple), 指的是 (V,∙,[1]) 是半单代数.
∘ 和这个定义密切有关的结果是所谓的 Givental-Teleman 分类, 它完全分类了 semisimple CohFT with unit(V 的维数不限). 特别地, dimV=1 的情况, V 由单位 [1] 生成, 这表明它的乘法是非退化的, 从而是半单的, 于是这时的情况确实被上述 GT 分类包含.
这个分类的内容简单来说, Ω 由以下两个结构唯一决定:
∙ 首先是 Ω 的拓扑组分 ω.
∙ 然后是一个 R-矩阵: R(z):=id+R1z+R2z2+⋯, Rk∈End(V).满足所谓的辛性质 (symplectic property)R(z)⋅R∗(−z)=id.这里 ∗ 表示取关于双线性形式 η 的伴随.
∘ 值得一提的是, 如果 V 是一维的, 那么伴随就是自身, 所以 R(z)R(−z)=1, 一个直接的例子是 R(z)=exp(cz). 实际上如果考虑 R 是 0 一个邻域内的全纯函数, 那么由于它非零, 可设 R(z)=exph(z), 求得 h(z)+h(−z)=0, 所以实际上所有符合条件的解是 R(z)=exph(z), 其中 h 可以是任意全纯奇函数.
而根据我们前面的引理, ω 由 Ω0,3 决定, 如果 V 是一维的那么这个映射也是平凡的. 由此我们得到了上述 GT 分类的一个小小特例.
∘ 实际上在一般的情况下, 我们也可以三步走来研究一个带单位的半单 CohFT:
(1) 具体地决定环 (V,∙,[1]),
(2) 使用上述引理决定拓扑组分 ω,
(3) 计算该理论的 R-矩阵.
∘ 特别地, 如果我们考虑的是 Gromov-Witten 理论的具体计算. 那么上述 (1) 由量子上同调环 QH∗(X,C) 决定, [需要细节] .
∘ 另外, 很多有趣的 CohFT 都不是半单的, 典例是 quintic X5⊂P4. 不过近年来, 人们似乎找到了一种利用 semisimple formal quintic theory 来作为替代研究对象的解决方案. 不过在本笔记中我们并不会介绍其细节.